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2018年秋高中数学 专题强化训练2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修1-1

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专题强化训练(二) 圆锥曲线与方程 (建议用时:45 分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.已知 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,当 a 分别为 3 和 5 时,点 P 的轨迹分别为 ( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 C [依题意,得|F1F2|=10.当 a=3 时,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,可知点 P 的轨迹 为双曲线的右支;当 a=5 时,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,可知点 P 的轨迹为以 F2 为端 点的一条射线.故选 C.] 2.与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点,且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为 ( A. + =1 2 4 C. +y =1 6 B 2 2 2 2 ) x 2 y 2 2 B.x + =1 6 D. + =1 8 5 y 2 x2 2 x2 y2 [椭圆 9x +4y =36 可化为 + =1,可知焦点在 y 轴上,焦点坐标为(0,± 5), 4 9 x2 y2 故可设所求椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 c= 5.又 2b=2,即 b=1,所以 a =b +c = 6,则所求椭圆的标准方程为 x + =1.] 6 2 y2 x2 a b 2 2 2 y2 x2 y2 3. 若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线互相垂直, 则双曲线的离心率 e=( a b ) 【导学号:97792113】 A. 2 A B.2 C. 3 D.3 [由题意知- × =-1,即 2=1, 2 b b a a b2 a b2 ∴e =1+ 2=2,即 e= 2.] a 1? 7? x2 2 4.直线 y= ?x- ?与双曲线 -y =1 交点的个数是( 3? 2? 9 A.0 B.1 1 ) C.2 B D.3 1 1? 7? [双曲线的渐近线方程为 y=± x,则直线 y= ?x- ?与双曲线的一条渐近线平行, 3 3? 2? 所以直线与双曲线只有一个交点.] 5.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数为( A.2 C.0 A [由题意,得 4 2 2 2 2 2 x2 y2 ) B.1 D.0 或 1 m +n2 >2,所以 m +n <4,则-2<m<2,-2<n<2,所以点 P(m,n)在椭 圆 + =1 内,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 有 2 个交点.故选 A.] 9 4 9 4 二、填空题 6.已知抛物线的离心率为 e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为________. x2 y2 x2 y2 p x2=4y [由题意知 e=1,则 =1,从而 2p=4.抛物线方程为 x2=4y.] 2 7.椭圆的两个焦点为 F1,F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120°的 等腰三角形,则此椭圆的离心率为________. 3 2 [由题意知|F1A|=|F2A|=a, |F1F2|=2c.由余弦定理得 4c =a +a -2a cos 120°. 2 2 2 2 2 2 2 c2 3 即 3a =4c ,所以 e = 2= . a 4 所以 e= 3 .] 2 2 2 8.点 P(8,1)平分双曲线 x -4y =4 的一条弦,则这条弦所在直线的方程是________. 2x-y-15=0 [设弦的两个端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) ? ?x1-4y1=4 则? 2 2 ?x2-4y2=4 ? 2 2 ① ② ②-①整理得 y2-y1 = x2-x1 所以 x2+x1 ,又 x1+x2=16,y1+y2=2. y2+y1 y2-y1 =2,即弦所在的直线的斜率为 2. x2-x1 故弦所在的直线方程为 2x-y-15=0.] 三、解答题 2 9.已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程. (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M,N,当|AM|=|AN|时,求 m 的取 值范围. 【导学号:97792114】 [解] (1)依题意可设椭圆方程为 x2 2 +y =1(a>1), a2 则右焦点 F( a -1,0), | a -1+2 2| 由题设,知 =3, 2 解得 a =3,故所求椭圆的方程为 +y =1. 3 2 2 2 x2 2 y=kx+m, ? ? 2 (2)设点 P 为弦 MN 的中点,由?x 2 +y =1, ? ?3 得(3k +1)x +6mkx+3(m -1)=0, 由于直线与椭圆有两个交点, 所以 Δ >0,即 m <3k +1,① 所以 xP= 2 2 2 2 2 xM+xN 2 3mk =- 2 , 3k +1 从而 yP=kxP+m= 2 , 3k +1 所以 kAP= m yP+1 m+3k2+1 =- , xP 3mk 又|AM|=|AN|,所以 AP⊥MN, m+3k2+1 1 2 则- =- ,即 2m=3k +1,② 3mk k 把②代入①得 2m>m ,解得 0<m<2, 2m-1 1 2 由②得 k = >0,解得 m> , 3 2 2 ?1 ? 故所求 m 的取值范围是? ,2?. ?2 ? ? 3? 10.已知椭圆 C 经过点 A?1, ?,两个焦点为(-1,0),(1,0). ? 2? (1)求椭圆 C 的方程; 3 (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. [解] (1)


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